一、选择题
1．已知a=(3，－1)，b=(－1，2)，则－3a－2b的坐标是
[ ]
A．(7，1) B．(－7，－1)
C．(－7，1) D．(7，－1)
[ ]
3．已知A，B两点坐标分别为(a，－b)，(－a，b)，点C分 所成的比为－2，那么C点的坐标是
[ ]
A．(－3a，3b) B．(3a，－3b)
C．(a，b) D．(－a，b)
4．如图，G为△ABC的重心，则 ＋ － 等于
[ ]
A．0 B．4
C．4 D．4
[ ]
二、填空题
6．△ABC的三条边的中点的坐标分别是（2，1），（－3，4），（－2，1），则△ABC的重心坐标为________．
则x=________．
8．已知a＝（5，10），b=（－3，－4），c＝（2，3），且c=la＋kb，则l＝________，k＝________．
9．已知平行四边形ABCD中，有 =（－2，1）， =（3，7），则向量 的坐标是________．
10．已知 ＝（k，12）， =（4，5）， ＝（10，k），且A，B，C三点共线，则k的值为________．
三、解答题
11．已知 ABCD的顶点A的坐标为（－2，1），一组对边AB与CD的中点分别为M（3，0），N（－1，－2），求 ABCD其余各个顶点的坐标．
12．如图， ＝（6，1）， ＝（x，y）， =（－2，－3），且 ∥ ，确定x，y的关系式．
13．证明G为△ABC重心的充要条件是 + + =0．
14．如图，五边形ABCDE中，点M，N，P，Q分别是AB，CD，BC，DE的中点，K和L分别是MN和PQ的中点．
15．设 ABCD一边AB的中点为E，一边AD上有一点F，且F分 的比为m∶n，BF与CE交于点K，求K分 的比λ的值．
参考答案
一、选择题
1．(B)．
2．(B)．
P(－1，－ )．
3．(A)．
4．(D)．
由于G为△ABC的重心，于是有 ＋ ＋ =0，则 ＋ － =－2 ，
又 =－2 ，故 ＋ － =4 ．
5．(C)．
二、填空题
6．(－1，2)
设A(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)．由中点坐标公式，得
由(Ⅰ)得a1＋b1＋c1=－3，
由(Ⅱ)得a2＋b2＋c2=6，
另解 据例6的结论，△ABC的重心与其各边中点为顶点的三角形的重心相同．于是，
7．x=0或x=－1
由于a与b共线，则
2(x2－5x)＋12x=0，2x2＋2x＝0，x=0，x=－1．
由(2，3)＝l(5，10)＋k(－3，－4)=(5l－3k，10l－4k)．
9．(2，－1)
由向量加法的平行四边形法则 = ＋ =(1，8)， = － =(2，－1)．
或由平行四边形性质知
=－ =(2，－1)．
10．k=11或k=－2
因为A，B，C三点共线，所以 与 共线．
而 = － =(4－k，－7)
＝ － ＝(6，k－5)．
∴ (4－k)(k－5)－6×(－7)＝0．
解得 k=11或k=－2．
另有解法：设B分 的比为λ，则
解得 k=11或k=－2．
三、解答题
11．解法一 设B(b1，b2)，C(c1，c2)，D(d1，d2)．
∵ M(3，0)为AB的中点，且A(－2，1)．
∴ b1＝8，b2=－1，
∴ B(8，－1)．
又∵ M(3，0)，N(－1，－2)，
∴ MN的中点O的坐标为(1，－1)．
由平行四边形的性质知O点也为AC及BD的中点．
解得 c1=4，c2=－3．
d1＝－6，d2=－1．
∴ C(4，－3)，D(－6，－1)．
解法二 设B(b1，b2)，C(c1，c2)，D(d1，d2)．
∵ M与N分别为AB与CD的中点，
∴ = ．
又 A(－2，1)，M(3，0)，N(－1，－2)．
∴ ＝(5，－1)， =(－1－d1，－2－d2)．
∴ (5，－1)＝(－1－d1，－2－d2)．
∴ d1＝－6， d2=－1．
即 D(－6，－1)．
又 = ， =(c1＋1，c2＋2)．
∴ (5，－1)＝(c1＋1，c2＋2)．
解得 c1＝4，c2＝－3．
∴ C(4，－3)．
又 = ， =(b1－3，b2－0)＝(b1－3，b2)，
(5，－1)＝(b1－3，b2)，
∴ b1＝8，b2=－1．
∴ B(8，－1)．
12．∵ ＝(6，1)， ＝(x，y)， ＝(－2，－3)，
∴ ＝ ＋ ＋
=(6，1)＋(x，y)＋(－2，－3)
＝(4＋x，y－2)．
又∵ ∥ ，
∴ ∥ ．
故 x(y－2)－y(4＋x)＝0，
xy－2x－4y－xy＝0，
∴ x＋2y＝0．
13．充分性(由 ＋ ＋ =0推证G为△ABC重心)．
如图，延长AG到D，使GD=AG，且AD与BC交于M，连结BD，CD．
∵ ＋ ＋ ＝0，
∴ ＝－( ＋ )，
即 ＝ ＋ ．
又∵ = ，
∴ = ＋ ．
由向量加法的平行四边形法则知四边形GBDC为平行四边形．
由于平行四边形的对角线互相平分，可知M为BC的中点，M也为GD的中点．
∴ AM是中线，且G在AM上．
又 ＝ ， ＝2 ，
∴ ＝2 ，
∴ ＝ ，
∴ G为△ABC的重心．
下面证明必要性(由G为△ABC的重心推证 ＋ ＋ =0)．
如图，延长AG与BC交于D点，
∴ AD为BC边中线，D为BC中点．
∵ G是△ABC的重心，
由向量加法的平行四边形法则，可知
＋ ＝2 ．
又由于G为△ABC的重心，
∴ ＝2 ．
∴ ＝ ＋ ．
于是 ＋ ＋ =0．
必要性的证明也可用例5的结论．
14．证法一 在平面上任取一点O，
∵ K和L分别为MN和PQ的中点，
连结AC，EC，在△ABC和△EDC中，有
证法二 坐标法．
设A(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)，D(d1，d2)，E(e1，e2)．由中点坐标公式可得
同理可求得
而 =(e1－a1，e2－a2)，
15．证法一
∵ K分 的比为λ，
又 B，K，F三点共线，
由于 与 不共线，以 与 为一组基底表示 是唯一的．由①与②可得
两式相除，消去t，得
证法二 设B(0，0)，A(a1，a2)，C(c1，c2)，则 =(a1，a2)， =(c1，c2)，
= ＋ =(a1＋c1，a2＋c2)．
∵ B，K，F三点共线，即 与 共线．
∴ k1f2－k2f1＝0，
∴ (2c1＋λa1)[na2＋m(a2＋c2)]－(2c2＋λa2)•[na1＋m(a1＋c1)]=0．
整理为2(m＋n)(c1a2－c2a1)－λm(a1c2－a2c1)=0，
∵ 与 不共线，
∴ a1c2－a2c1≠0，
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