一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。
1．函数 的定义域为 （ ）
A． B．
C． D．
2．若集合 、 、 ，满足 ， ，则 与 之间的关系为 （ ）
A． B． C． D．
3．设 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．定义集合运算: .设 , ,则集合 的所有元素之和为 （ ）
A．0 B．2 C．3 D．6
5．如图所示， ， ， 是 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ）
A． B．
C． D．
6．设f(x)＝|x－1|－|x|，则f[f( )]＝ （ ）
A． － B．0 C． D．1
7．若f（x）为R上的奇函数，给出下列四个说法：
①f（x）＋f（－x）＝0 ； ②f（x）－f（－x）＝2f（x）；
③f（x）•f（－x）<0； ④ 。
其中一定正确的有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上为减函数，则a的取值范围为 （ ）
A． 0＜a≤ B．0≤a≤ C．0＜a≤ D．a>
9．如果函数 的图像关于y轴对称，且 ，则 的表达式为 （ ）
A． B．
C． D．
10．设定义域为R的函数f（x）满足 ，且f（－1）＝ ，则f（2008）的值为 （ ）
A．－1 B．1 C．2009 D．
11．设函数 | | + b + c 给出下列四个命题：
①c = 0时，y 是奇函数 ②b 0 , c >0时，方程 0 只有一个实根
③y 的图象关于(0 , c)对称 ④方程 0至多两个实根
其中正确的命题是 （ ）
A．①、④ B．①、③ C．①、②、③ D．①、②、④
12．若任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，都有 成立，则称f(x) 是[a，b]上的凸函数。试问：在下列图像中，是凸函数图像的是 （ ）
第Ⅱ卷
二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。
13．已知集合 ，则 等于 .
14．一辆汽车在某段路程中的行驶速度 与时间 的关系如图所示，则该汽车在前3小时内行驶的路程为_________km，假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2006km，那么在 时，汽车里程表读数 与时间 的函数解析式为__________.
15．对 ，记max｛a,b｝= ，函数f（x）＝max｛x+2008×2007,x ｝(x R)的最小值是 .
16．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、 ∈P
（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：
①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q M,则数集M必为数域；④数域必为无限集。其中正确的命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号都填上）.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分).
17．（12分）若 ，求实数 的值.
18．（12分）已知集合 ， ，且 ，求实数 的取值范围.
19．（12分）判断y=1－2x3 在 上的单调性，并用定义证明.
20．（12分）已知某商品的价格上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m为正的常数。
（1）当m= 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？
（2）如果适当地涨价，能使销售总金额增加，求m的取值范围？
21．（12分）已知集合 ， ，若
，求实数 的取值范围.
22．（14分）设函数 。
（1）在区间 上画出函数 的图像；
（2）设集合 。试判断集合 和 之间的关系，并给出证明；
（3）当 时，求证：在区间 上， 的图像位于函数 图像的上方.
参考答案
一、选择题
1．D；提示：只须保证根式有意义；
2．C；提示： ， ，所以 。但不能说 C；
3．B；提示：可借助数轴来表示，注意 ，所以若 需要 ；
4．D提示：因 ；
5．C；提示：根据阴影部分所对应的区域即可，是集合M、N的内部区域，在集合P之外；
6．D；提示： ；
7．C；提示：需要考虑 这种特殊情况，正确的是“①②”；
8．B；提示：只需保证 ，再讨论a=0这种特殊情况；
9．C；提示：显然函数为偶函数，设 ，
则 ；
10．B；提示：可以写出前几个0、1、2、3的函数值，可归纳出 ；
11．C；提示：可对绝对值号分情况展开，结合二次函数的性质分段处理；
12．C；提示：凸函数满足中点的函数值大于端点连线中点的纵坐标；
二、填空题
13． ；提示：由于2008的正因数只有1，2，4，8，251，502，1004，2008共8个，分别代入即可；
14．220； ；提示：按分段函数处理即可；
15．2007 ；提示：首先在平面直角坐标系内绘制函数 的图像，求得 ，结合图像代入 即可；
16．①④；提示：按照信息给予的条件进行分析，a－a=0、 、 、
；
三、解答题
17．解：
或
或 ………………………………6分
当 时， ， ， ，适合条件；…………8分
当 时， ， ， ，适合条件…………10分
从而， 或 ………………………………12分
18．解： ，…………2分
当 时, ， …………4分
当 时,
，
，
或 …………11分
从而，实数 的取值范围为 …………12分
19．证明：任取x1,x2 R,且－ <x1<x2<+ …………2分
f(x1)－f(x2)
=(1－2x31)－(1－2x32)
=2(x32－x13)
=2(x2－x1)(x22+x1x2+x21)
=2(x2－x1)[(x1+x2)2+ x12] …………8分
∵x2>x1∴x0－x1>0,又（x1+x2）2+ x12>0,
∴f(x1)－f(x2)>0即f(x1)>f(x2) …………10分
故f(x)=1－2x3在（－ ，+ ）上为单调减函数。…………12分
20．解：（1）设商品现在定价a元，卖出的数量为b个。
由题设：当价格上涨x%时，销售总额为y=a(1+x%)b(1－mx%)，
即 ，（0<x< ），…………3分
取m= 得：y= ，当x=50时，ymax= ab，
即：该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大。…………6分
（2）二次函数 ，在 上递增，
在 上递减，…………8分
适当地涨价能使销售总金额增加，即 在(0, )内存在一个区间，使函数y在此区间上是增函数，所以 ，
解得 ，即所求 的取值范围是（0，1）．…………12分
21．解：方法1
，
中至少含有一个负数，即方程 至少有一个负根。………1分
当方程有两个负根时， ， ，…………4分
当方程有一个负根与一个正根时， …………7分
当方程有一个负根与一个零根时，
或 或 …………10分
从而实数 的取值范围为 …………12分
方法2：
， 中至少含有一个负数
取全集 ，…………4分
当A中的元素全是非负数时，
，
所以当 时的实数a的取值范围为 …………10分
从而当 时的实数a的取值范围为 …………12分
22．（1）
………………………………4分
（2）方程 的解分别是 和 ，由于 在 和 上单调递减，在 和 上单调递增，因此
. …………………………6分
由于 ∴B A. ………………………………8分
（3）[解法一] 当 时， .
，
. 又 ，……………………10分
① 当 ，即 时，取 ，
.
，
则 . …………………………………………………………12分
② 当 ，即 时，取 ， ＝ .
由 ①、②可知，当 时， ， .
因此，在区间 上， 的图像位于函数 图像的上方.…………14分
解法二：当 时， 。
由 得 ，
令 ，解得 或 ，……………………………10分
在区间 上，当 时， 的图像与函数 的图像只交于一点 ； 当 时， 的图像与函数 的图像没有交点.
如图可知，由于直线 过点 ，当 时，直线 是由直线 绕点 逆时针方向旋转得到。
因此，在区间 上， 的图像位于函数 图像的上方。……………………………………………14分
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编辑者：深圳家教（深圳家教网)
